|
|
 |
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*
), если каждой упорядоченной паре элементов
поставлен в соответствие некоторый элемент
называемый их произведением.
Примеры.
Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если
,
. В частности можно определить степени с натуральным показателем:
. При этом имеют место обычные законы:
,
.
2. Операция (*) называется коммутативной, если
В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна
в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции
3. Элемент
называется нейтральным
для алгебраической операции (*) на множестве X, если
.
В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение,
тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно
(для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная
матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим,
что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле,
если
- нейтральные элементы, то
. Наличие нейтрального элемента
позволяет определить степень с нулевым показателем:
.
4. Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент
называется обратным для
элемента
, если
.
Отметим, что по определению
. Все
перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения
все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля.
Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если
элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем:
.
Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент
также обратим и
. (Сначала мы
одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).
Определение (абстрактной) группы.
Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если
Примеры групп.
Доказательство Применим к равенству
закон сокращения.
Определение.
Отображение
двух групп G и K называется изоморфизмом , если
1.Отображение j
взаимно однозначно. 2.Отображение j
сохраняет операцию:
.
Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.
Примеры.
1.Группы поворотов плоскости
и
вокруг точек
и
изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.
2.Группа диэдра
и соответствующая пространственная группа
изоморфны.
Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
Непустое подмножество
называется подгруппой, если
само является группой. Более подробно это означает, что
,
и
.
Признак подгруппы.
Непустое подмножество
будет подгруппой тогда и только тогда, когда
.
Доказательство.
В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь
-
любой элемент. Возьмем
в признаке
подгруппы. Тогда получим
. Теперь
возьмем
. Тогда получим
.
Примеры подгрупп.
Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.
Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.
Пусть
некоторая подгруппа.
А) Для каждого
определим отображение
(левый сдвиг на элемент h) формулой
.
Теорема 1
Доказательство.
Следствие.
Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).
Для случая конечных групп получается теорема Кэли:
Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы
подстановок степени n.
Теорема B.
Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что
. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не
, а
.
С) Для каждого
определим
(сопряжение или трансформация элементом h ) формулой
.
Теорема С.
Доказательство.
Замечание об инъективности отображения q .
В общем случае отображение q
не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования
будут тождественными и группа
тривиальна. Равенство
означает, что
или
(1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество
называется централизатором подгруппы
. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что
. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q
является изоморфизмом.
Пусть, как и выше,
некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита
называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам
.Заметим, что
стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов
, что hg=g
. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного
.
Орбиты группы
называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются
Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно
, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.
Пример.
Пусть
- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы:
=(1,2,3);
=(1,3,2);
=(2,1,3);
=(2,3,1);
=(3,1,2);
=(3,2,1). Пусть
. Легко проверить, что левые смежные классы суть:
,
,
.
Правые смежные классы:
,
,
.
Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
,
,
,
.
В то же время,
,
,
.
Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:
. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов,
, откуда и вытекает теорема.
Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом
подгруппы
.
Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В самом деле, если
эти подгруппы, то
их общая подгруппа и по теореме Лагранжа
- общий делитель порядков H и K то есть 1.
Пусть
любая подгруппа и
-любой
элемент. Тогда
также является подгруппой
G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения
является изоморфизмом. Подгруппа
называется сопряженной по отношению к подгруппе H.
Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой:
.
Равенство
можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.
Примеры.
Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть
.
Доказательство.
Очевидно, что для любой подгруппы H HH=H.Но тогда
Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс
. Поскольку
, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.
Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.
Определение.
Отображение групп
называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть
:
.
Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.
Примеры.
Теорема (свойства гомоморфизма)
Пусть
- гомоморфизм групп,
и
- подгруппы. Тогда:
Доказательство.
Определение.
Нормальная подгруппа
называется ядром гомоморфизма
.Образ этого гомоморфизма обозначается
.
Теорема.
Гомоморфизм a
инъективен тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Поскольку
, указанное условие необходимо. С другой стороны, если
, то
и если ядро тривиально,
и отображение инъективно.
Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
Любой гомоморфизм
можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма
, изоморфизма
и (инъективного) гомоморфизма
(вложения подгруппы в группу):
.
Доказательство.
Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j
. Пусть
. Элементами факторгруппы
являются смежные классы Hg . Все
элементы
имеют одинаковые образы
при отображении a :
.
Поэтому формула
определяет однозначное
отображение
. Проверим сохранение
операции
.Поскольку
отображение j очевидно сюръективно, остается
проверить его инъективность. Если
,
то
и потому
.
Следовательно,
и по предыдущей
теореме j инъективно.
Пусть
- любой элемент. Имеем :
. Следовательно,
.
Пусть G произвольная группа и
- любой ее элемент. Если некоторая подгруппа
содержит g , то она содержит и все степени
. С другой стороны, множество
очевидно является подгруппой G .
Определение.
Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.
Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.
Примеры
Теорема о структуре циклических групп.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .
Доказательство.
Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение
-
сюръективно. По свойству степеней
и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме
. H = Kerj
Ì Z. Если H - тривиальная подгруппа, то
.
Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее
положительное число входящее в H. Тогда nZÌ
H. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся
на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 <
r < n. Тогда r = k - qn Î H , что противоречит
выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.
Отметим, что
»
Z / nZ .
Замечание.
В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...
Определение.
Порядком элемента
называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .
Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени
- различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы
различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а
N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство
.
Следствие.
Если G - группа простого порядка p, то
- циклическая группа.
В самом деле, пусть
- любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )»
.
Теорема о подгруппах конечной циклической группы.
Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌ G порядка m. Эта подгруппа циклична.
Доказательство.
По предыдущей теореме G»
Z / nZ. Естественный гомоморфизм
устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌ
G и теми подгруппами KÌ
Z , которые содержат Kerp
= nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉ
nZ , то k - делитель n и p
(k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.
Доказательство.
Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HÌ G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.
Лемма.
Если G обладает свойством (Z), то
Доказательство леммы.
1. Пусть HÌ G . Для любого
подгруппа
имеет тот же порядок,
что и H. По свойству (Z)
то
есть подгруппа H нормальна.
2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x)
и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых
a и b
.
Следовательно,
. Но, поскольку порядки
подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то
.
Следовательно,
и потому xy = yx.
3. Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта
подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы
пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп
перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hÎ
H, kÎ K попарно различны, так как
=e
поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений
равно m N/m =
и, следовательно,
они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение
является гомоморфизмом
с ядром
K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка
s. Поскольку s и N/m взаимно просты,
и потому
- подгруппа порядка s.
Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы
и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение
условия (S) для подгруппы H.
Доказательство теоремы.
Пусть
- разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть
. Выберем в G элемент x максимального порядка
. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен
, где u £
s. Группы
и
имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому
и мы доказали, что x - образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например,
) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.
Теорема Коши.
Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g¹
e и
, где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.
Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме
Лемма.
Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.
Доказательство леммы.
Пусть
- элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента
. Тогда
и значит m делится на p. Но тогда
- элемент порядка p.
Доказательство теоремы Коши.
Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»
Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и
, причем n делится на p.
Рассмотрим последовательно несколько случаев
Замечание.
Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа
порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.
Теорема о подгруппах коммутативной группы.
Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.
Доказательство.
Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если
естественный гомоморфизм, то
- подгруппа G порядка m .
Замечание.
Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе
четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.