Meтоды pаcчeта элeктpоcтатичecкиx полeй (RTF)

В методе эквивалентных зарядов возникают следующие проблемы, связанные
друг с другом:

Размещение эквивалентных зарядов и контурных точек;

Проблема обусловленности СЛАУ.

Определитель матрицы СЛАУ равен нулю, если она имеет два одинаковых
столбца или строки. Если же два столбца или две строки не одинаковы, но
близки друг к другу, то определитель матрицы отличен от нуля, но очень
мал. Его значение тем меньше, чем меньше отличия соответствующих строк
или столбцов.

В соответствии с этим, при сближении строк или столбцов исходной
матрицы, будут возрастать коэффициенты матрицы, обратной к
рассматриваемой. Будет возрастать и норма обратной матрицы.

В линейной алгебре вводится понятие числа обусловленности N матрицы
равного произведению норм прямой и обратной матриц



N=||A-1||||A||.



При сближении двух строк или столбцов матрицы, число обусловленности N
возрастает.

Рассмотрим теперь СЛАУ, записанную в матричной форме:



AX=U,



где X и U соответственно, векторы неизвестных и правых частей.

Пусть правая часть U известна точно, а матрица A получает некоторое
приращение А. Тогда решение также несколько изменится. Обозначим его
приращение через Х. Это можно записать как



(A+A)(X+X)=U.



Если раскрыть скобки и пренебречь величиной АХ, то получим



ХА-1 АХ.



Переходя к нормам, получим:



.



Смысл этого выражения состоит в том ,что относительная погрешность
решения пропорциональна относительному изменению коэффициентов матрицы
А, причем коэффициент пропорциональности равен числу обусловленности
матрицы А.

Системы уравнений с большим числом обусловленности N называются плохо
обусловленными. Для них небольшим изменениям коэффициентов матрицы
соответствуют большие изменения решения.

Теперь перенесем изложенные результаты на МЭЗ. Предположим, что
расстояния от отдельных ЭЗ до каких-либо двух контурных точек близки.
Это приводит к тому, что два столбца в матрице СЛАУ близки между собой и
число обусловленности матрицы может быть весьма велико. В этом случае
полученные значения ЭЗ очень сильно зависят от выбранных координат
контурных точек. Поэтому если координаты ЭЗ и КТ выбраны неудачно, то
решение может иметь осциллирующий знакопеременный характер, что не
соответствует физической постановке задачи.