Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при формировании портфеля ценных бумаг
78 , 2 , 1 .
: , , .
,
. ,
.
7.
1.......................................................................
...........................................65
8.
2.......................................................................
...........................................67
9.
1.......................................................................
....................................................78
1.
.
, . 1968
. ,
" ",
.
,
, ,
,
.
, , ,
,
.
.
,
,
.
,
.
,
.
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.
, ,
.
,
.
,
- ,
,
,
.
, ,
.
.
.
,
.
++,
UNIX (AIX, Solaris) Microsoft Windows,
.
,
.
.
2.
.
,
.
,
- -.
.
,
,
.
,
.
3.
3. ( ).
3.1 :
:
(3.1.1)
x- n, C- - 1(n, D -
n(n, (D ( 0).
b - m. A - m(n, m (R(A) =
m).
x:
x ( 0.
Cx
, ,
C .
:
(3.1.2)
,
.
3.2 (3.2)
(3.2)
- .
- :
(3.2.1)
:
(3.2.2)
Ai- A m, Di D n, Lk -
A n, ej - n- .
xi - x, (k (k -
-. 3.2.2
:
(3.2.3)
P0, ... Pm+2n m+n
P, :
(3.2.4)
- (3.2.3)
:
(3.2.5)
,
.
[1,2].
3.3. .
.
A m ( 3.1),
. ,
, , P
Em+n, . L(P)=En+m.
3.2.4
N En+m, P1, ..
Pm. En+m
, :
(3.3.1)
, (3.3.1) :
(3.3.2)
(1 (2 - . , (1=(2
U(1,(2 (=(1.
(3.3.3)
b U(1,(2
, - .
U(1,(2 ,
- (3.2.3).
, ,
x , ..
(3.3.4)
(3.1.2) ,
. .
3.4. . .
(3.1.2)
. ,
.
,
f(x) L,
.
(3.4.1)
, , .
x*.
(3.4.1) :
(3.4.2)
. (3.4.2)
, .. ,
, ,
((x*).
, (3.4.2)
, (3.4.1). ,
- (k,
{1,..n},
(3.4.2), (k (*,
(*.
, (3.4.2)
, . {L1, .. Lm, ej (j( ((x*)}-
.
(3.4.2) ,
.
(k .
:
x* :
(3.4.3)
X( - , :
(3.4.4)
, (3.4.3) (3.4.4)
, (j, -
(j0, ..
(3.4.5)
( ' - , (
j0:
(3.4.6)
, x*' -
(3.4.7)
:
f(x*')
.
(3.4.6) X(
X(' , X(' ( X( f(x*') (
f(x*). (3.4.8)
, f(x*') ( f(x*).
, . x*
(3.4.3) (3.4.7), -
:
(3.4.9)
(3.4.10)
(3.4.10) 0ej0. ,
(3.4.5) (j0 ,
f {L1, .. Lm,
ej (j( ((x*)}. ,
, .
(k (
), f(x).
. 1.
, .
1. x1 .
,
-,
. (1=((x1), k=1.
2. x*k
x*k (3.4.1),
3,
4.
3.
- (3.4.1)
x*k (3.4.1)
.
2.
4.
,
, (3.4.1),
, , ..
(k+1=((xk+1), k k+1, 2.
,
( k,
.
.
3.5 .
.
, (3.4)
(3.1.2). ,
(3.4.2) (3.4.1).
(3.1.2) :
(3.5.1)
- (3.5.1)
( :
(3.5.2)
(3.2.3-3.2.4),
- (3.5.2) :
(3.5.3)
U( , (3.5.3)
X( P0
, .. .
,
,
, .
,
.
. (0
x* (*k (*j
- x.
(3.5.4)
x*((),
, -
(3.5.4).
- :
(0 ,
Pm+j0 , :
(3.5.6)
(3.5.5),
x*,(*,(*,
(3.5.4):
(3.5.7)
, , (0 ,
,
(3.5.7).
(3.5.4)
(3.4.4).
. X(0((1)
, x :
(3.5.8)
X(0((1)
X(1 , (1 ,
:
(3.5.9)
.. j0 (3.5.4) r (3.5.8).
(3.5.8), (3.5.5) X(0
:
(3.5.10)
, , ,
:
(3.5.11)
(3.5.12)
- (3.5.1)
(1 , ,
:
(3.5.13)
(3.5.14)
,
, (0 (1 U(1,(0 .
4
.
L(1,(0
, U(1,(0 :
(3.5.15)
.
( ) .
3.6.
. .
, ( U( ,
(3.5.1),
x* , ,
.
,
. ,
( (.
.
1. x0, x1
- f(x) -
xTDx, (1
, - x1
. :
(3.6.1)
:
:
-:
.
. x0, x0(() - (3.5.1)
(
(3.5.4). :
. x0, x0(() -,
1:
x0, x0(()
.
2. x0, x1 - X(0 X(1
, -
(0 (1. :
: 1, , :
, :
- , :
.
,
.
1. x0 -
X(0 , (0 U(0 . ,
, x0 ,
(, j0)
, 2
, ,
, ,
.
, .
, (j0j0 (3.5.6) .
, . ,
(j0
f(x) . .
X(0 (()
(
(0
:
:
2. (0 (1 , U(1,(0 ,
, :
(3.6.2)
.
(3.5.1), ,
(3.1.2), ..
, x1 - (3.5.1) X(1 ,
(1 U(1 , x1
(3.5.15):
(3.6.3)
. P0 U(1 , Pm+n+r
U(1,(0 :
,
(3.5.15) :
, (3.6.2), ,
(3.6.4)
2, :
,
, U(1 .
.
2
, (1
.
3.7.
.
( 3.4)
.
.
1.
(1 , U(1 ,
(3.5.1)
(3.1.2). [2]
.
,
-,
,
:
3.
.
2.
(3.5.1).
:
2(). 3.
(3.5.1) .
(3.1.2),
3.
4.
:
(j0 ,
x .
, , (3.5.1),
,
(3.1.2), 4.
2(). 4.
(3.5.1) .
(3.1.2),
3.
4.
:
4.
.
3.8.
.
.
,
R
(m+n) U(1,(2 ;
- .
,
, :
1. U(1 U(2 ((2=(1 \ j0 )
Pm+n+j0 Pm+j0 .
2. U(1 U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r)
Pm+r Pm+j0 .
3. U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r) U(2
Pm+n+j0 Pm+n+r .
4. U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r) U(2',(2' (('2=(2 U r', ('1=(1 U r' )
Pm+r Pm+n+r' .
R
B - P ( ,
P , ).
, B.
P (3.2.4) B,
:
,
, S1-1 B-1
. , ,
, S1-1
, ,
S1-1 .
,
.
4.
.
4.1
:
(4.1.1)
- x*(() ,
( . .
4.2
.
(4.1.1) ,
(0 . , x*((0) ,
(((0) , .
( ,
. -:
(4.1.2)
, (4.1.2)
:
(4.1.3)
R ,
(4.1.3),
(4.1.2):
(4.1.4)
- R .
(4.1.4). , ,
,
:
(4.1.5)
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.4) , (4.1.5)
- x*(() En
, . ,
.
4.3
.
:
1.
, .
2. (4.1.6-4.1.7)
.
3.
.
,
(
)
, .
5.
. :
.
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,
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( :
( ,
, R .
. ,
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, , :
( , ..
,
:
,
:
:
R
:
,
:
,
:
:
:
, , ,
-
.
6.
1. .., ., ..
( ) - .: , 1980.
2. .. . . - .:
, 1973.
3. . . - .:, 1984.
4. .., ..
. - , 1978, .12, NN 2,4.
5. . . - .: ,
1967.
6. ..
. -
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8. Van de Pann C. Methods for Linear and Quadratic Programming. -
Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1975.