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Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при формировании портфеля ценных бумаг



78 , 2 , 1 .

: , , .



,

. ,
.



7.
1.......................................................................
...........................................65

8.
2.......................................................................
...........................................67

9.
1.......................................................................
....................................................78



1.



.

, . 1968


. ,
" ",

.

,
, ,

,

.

, , ,

,
.

.

,
,

.

,

.



,

.




.
.

, ,

.



,
.

,

- ,
,
,
.

, ,
.



.


.


,
.

++,
UNIX (AIX, Solaris) Microsoft Windows,
.
,
.




.

2.


.
,

.



,
- -.



.
,
,
.


,

.

3.

3. ( ).

3.1 :


:





(3.1.1)



x- n, C- - 1(n, D -
n(n, (D ( 0).
b - m. A - m(n, m (R(A) =
m).

x:

x ( 0.

Cx
, ,
C .
:



(3.1.2)




,
.

3.2 (3.2)

(3.2)
- .
- :



(3.2.1)



:



(3.2.2)



Ai- A m, Di D n, Lk -
A n, ej - n- .
xi - x, (k (k -
-. 3.2.2
:



(3.2.3)





P0, ... Pm+2n m+n
P, :



(3.2.4)



- (3.2.3)
:



(3.2.5)






,
.
[1,2].

3.3. .
.

A m ( 3.1),

. ,
, , P
Em+n, . L(P)=En+m.

3.2.4
N En+m, P1, ..
Pm. En+m
, :

(3.3.1)





, (3.3.1) :

(3.3.2)



(1 (2 - . , (1=(2
U(1,(2 (=(1.

(3.3.3)



b U(1,(2
, - .

U(1,(2 ,
- (3.2.3).

, ,
x , ..



(3.3.4)



(3.1.2) ,
. .

3.4. . .

(3.1.2)

. ,

.

,
f(x) L,
.



(3.4.1)



, , .
x*.
(3.4.1) :



(3.4.2)




. (3.4.2)
, .. ,
, ,
((x*).

, (3.4.2)
, (3.4.1). ,
- (k,
{1,..n},
(3.4.2), (k (*,
(*.

, (3.4.2)

, . {L1, .. Lm, ej (j( ((x*)}-
.
(3.4.2) ,
.

(k .

:

x* :

(3.4.3)



X( - , :

(3.4.4)



, (3.4.3) (3.4.4)
, (j, -
(j0, ..

(3.4.5)



( ' - , (
j0:

(3.4.6)



, x*' -

(3.4.7)



:

f(x*')


.

(3.4.6) X(
X(' , X(' ( X( f(x*') (
f(x*). (3.4.8)
, f(x*') ( f(x*).

, . x*
(3.4.3) (3.4.7), -
:



(3.4.9)





(3.4.10)



(3.4.10) 0ej0. ,
(3.4.5) (j0 ,
f {L1, .. Lm,
ej (j( ((x*)}. ,
, .

(k (
), f(x).






. 1.
, .

1. x1 .
,
-,
. (1=((x1), k=1.

2. x*k

x*k (3.4.1),
3,
4.

3.



- (3.4.1)
x*k (3.4.1)
.





2.

4.
,
, (3.4.1),
, , ..

(k+1=((xk+1), k k+1, 2.

,
( k,
.
.

3.5 .
.

, (3.4)
(3.1.2). ,


(3.4.2) (3.4.1).

(3.1.2) :



(3.5.1)



- (3.5.1)
( :



(3.5.2)



(3.2.3-3.2.4),
- (3.5.2) :



(3.5.3)



U( , (3.5.3)
X( P0
, .. .
,
,

, .

,

.

. (0
x* (*k (*j
- x.


(3.5.4)



x*((),
, -
(3.5.4).

- :





(0 ,
Pm+j0 , :



(3.5.6)



(3.5.5),
x*,(*,(*,
(3.5.4):



(3.5.7)



, , (0 ,
,
(3.5.7).


(3.5.4)
(3.4.4).

. X(0((1)
, x :

(3.5.8)



X(0((1)
X(1 , (1 ,
:

(3.5.9)



.. j0 (3.5.4) r (3.5.8).

(3.5.8), (3.5.5) X(0
:

(3.5.10)



, , ,
:

(3.5.11)





(3.5.12)



- (3.5.1)
(1 , ,
:



(3.5.13)





(3.5.14)



,
, (0 (1 U(1,(0 .
4
.

L(1,(0
, U(1,(0 :

(3.5.15)



.

( ) .

3.6.
. .

, ( U( ,
(3.5.1),
x* , ,
.


,
. ,
( (.
.

1. x0, x1
- f(x) -
xTDx, (1
, - x1
. :

(3.6.1)



:

:

-:


.

. x0, x0(() - (3.5.1)
(
(3.5.4). :

. x0, x0(() -,
1:

x0, x0(()


.

2. x0, x1 - X(0 X(1
, -
(0 (1. :

: 1, , :

, :

- , :


.

,
.

1. x0 -
X(0 , (0 U(0 . ,
, x0 ,
(, j0)





, 2


, ,

, ,
.
, .
, (j0j0 (3.5.6) .

, . ,
(j0
f(x) . .

X(0 (()
(

(0
:

:

2. (0 (1 , U(1,(0 ,
, :



(3.6.2)



.

(3.5.1), ,
(3.1.2), ..

, x1 - (3.5.1) X(1 ,
(1 U(1 , x1
(3.5.15):

(3.6.3)



. P0 U(1 , Pm+n+r
U(1,(0 :

,
(3.5.15) :

, (3.6.2), ,

(3.6.4)



2, :

,

, U(1 .
.

2
, (1
.

3.7.
.



( 3.4)

.
.

1.

(1 , U(1 ,
(3.5.1)
(3.1.2). [2]
.

,
-,
,
:

3.

.

2.
(3.5.1).
:

2(). 3.
(3.5.1) .
(3.1.2),
3.
4.

:


(j0 ,
x .
, , (3.5.1),
,
(3.1.2), 4.

2(). 4.
(3.5.1) .
(3.1.2),
3.
4.


:

4.

.

3.8.
.


.

,
R
(m+n) U(1,(2 ;
- .

,
, :

1. U(1 U(2 ((2=(1 \ j0 )
Pm+n+j0 Pm+j0 .

2. U(1 U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r)
Pm+r Pm+j0 .

3. U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r) U(2
Pm+n+j0 Pm+n+r .

4. U(2,(1 ((2=(1 \ j0 U r) U(2',(2' (('2=(2 U r', ('1=(1 U r' )
Pm+r Pm+n+r' .

R


B - P ( ,
P , ).
, B.

P (3.2.4) B,
:

,

, S1-1 B-1
. , ,
, S1-1
, ,
S1-1 .
,

.

4.
.

4.1



:

(4.1.1)



- x*(() ,
( . .


4.2
.

(4.1.1) ,
(0 . , x*((0) ,
(((0) , .
( ,
. -:



(4.1.2)



, (4.1.2)
:



(4.1.3)



R ,
(4.1.3),
(4.1.2):



(4.1.4)



- R .

(4.1.4). , ,
,
:

(4.1.5)







(4.1.6)







(4.1.7)



(4.1.4) , (4.1.5)
- x*(() En
, . ,
.

4.3
.


:

1.

, .

2. (4.1.6-4.1.7)
.

3.
.
,

(
)
, .



5.


. :

.
,
(.

,
:

.
:

,
, :

,
:

( :

( ,
, R .

. ,
:



, , :

( , ..

,
:

,
:

:



R
:



,
:

,

:



:


:

, , ,


-
.

6.

1. .., ., ..
( ) - .: , 1980.

2. .. . . - .:
, 1973.

3. . . - .:, 1984.

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?
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