« Ýðóäèöèÿ » Ðîññèéñêàÿ ýëåêòðîííàÿ áèáëèîòåêà

Введение в теорию матриц и определителей

Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàòðèö è îïðåäåëèòåëåé.

Îãëàâëåíèå.

Îãëàâëåíèå.

1. Ìàòðèöû.

1.1 Ïîíÿòèå ìàòðèöû.

1.2 Îíîâíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè.

2. Îïðåäåëèòåëè.

2.1 Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ.

2.2 Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé.

2.3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé.

3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

3.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.

3.2 Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

3.3 Ðåøåíèå ñèòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòåäîì Êðàìåðà.

3.4 Ðåøåíèå ñèòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòåäîì Ãàóññà.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

1. Ìàòðèöû.

1.1 Ïîíÿòèå ìàòðèöû.

Ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà èç ÷èñåë, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî m ñòðîê è íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî n ñòîëáöîâ. ×èñëà m è n íàçûâàþòñÿ ïîðÿäêàìè ìàòðèöû.  ñëó÷àå, åñëè m = n , ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé, à ÷èñëî m = n -- åå ïîðÿäêîì.

1.2 Îñíîâíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè.

Îñíîâíûìè àðèôìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä ìàòðèöàìè ÿâëÿþòñÿ óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî, ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ìàòðèö.

Ïðåæäå âñåãî äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ìàòðèöû ðàâíûìè, åñëè ýòè ìàòðèöû èìåþò îäèíàêîâûå ïîðÿäêè è âñå èõ ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ñîâïàäàþò.

Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ îñíîâíûõ îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè.

Ñëîæåíèå ìàòðèö: Ñóììîé äâóõ ìàòðèö, íàïðèìåð: A è B, èìåþùèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ñòðîê è ñòîëáöîâ, èíûìè ñëîâàìè, îäíèõ è òåõ æå ïîðÿäêîâ m è n íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà Ñ = ( Ñij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) òåõ æå ïîðÿäêîâ m è n, ýëåìåíòû Cij êîòîðîé ðàâíû.

Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) ( 1.2 )

Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóììû äâóõ ìàòðèö èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü C = A + B. Îïåðàöèÿ ñîñòàâëåíèÿ ñóììû ìàòðèö íàçûâàåòñÿ èõ ñëîæåíèåì

Èòàê ïî îïðåäåëåíèþ èìååì :


+
=

=

Èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû ìàòðèö, à òî÷íåå èç ôîðìóëû ( 1.2 ) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, à èìåííî :

  1. ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì : A + B = B + A
  2. ñî÷åòàòåëüíûì ñâîéñòâîì : (A + B) + C = A + (B + C)

Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò íå çàáîòèòüñÿ î ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñëàãàåìûõ ìàòðèö ïðè ñëîæåíèè äâóõ èëè áîëüøåãî ÷èñëà ìàòðèö.

Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî :

Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) íà âåùåñòâåííîå ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n ), ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû

Cij =
Aij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ).
(1.3)

Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü C =
A èëè C = A
.
Îïåðàöèÿ ñîñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî íàçûâàåòñÿ óìíîæåíèåì ìàòðèöû íà ýòî ÷èñëî.

Íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (1.3) ÿñíî, ÷òî óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè :

  1. ðàñïðåäåëèòåëüíûì ñâîéñòâîì îòíîñèòåëüíî ñóììû ìàòðèö:

(A + B) =
A +
B
  1. ñî÷åòàòåëüíûì ñâîéñòâîì îòíîñèòåëüíî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ:

(

) A =
(
A)

  1. ðàñïðåäåëèòåëüíûì ñâîéñòâîì îòíîñèòåëüíî ñóììû ÷èñåë :

(
+
) A =
A +
A.

Çàìå÷àíèå : Ðàçíîñòüþ äâóõ ìàòðèö A è B îäèíàêîâûõ ïîðÿäêîâ åñòåñòâåííî íàçâàòü òàêóþ ìàòðèöó C òåõ æå ïîðÿäêîâ, êîòîðàÿ â ñóììå ñ ìàòðèöåé B äàåò ìàòðèöó A. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ðàçíîñòè äâóõ ìàòðèö èñïîëüçóåòñÿ åñòåñòâåííàÿ çàïèñü : C = A – B.

Ïåðåìíîæåíèå ìàòðèö :

Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ), èìåþùåé ïîðÿäêè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå m è n, íà ìàòðèöó B = (Bij) ( i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p ), èìåþùóþ ïîðÿäêè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå n è p, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C = (Ñij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), èìåþùàÿ ïîðÿäêè, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå m è p, è ýëåìåíòû Cij, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëîé

Cij =
( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p )
(1.4)

Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B èñïîëüçóþò çàïèñü

C = AB. Îïåðàöèÿ ñîñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B íàçûâàåòñÿ ïåðåìíîæåíèåì ýòèõ ìàòðèö. Èç ñôîðìóëèðîâàííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ìàòðèöó A ìîæíî óìíîæèòü íå íà âñÿêóþ ìàòðèöó B : íåîáõîäèìî ÷òîáû ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A áûëî ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B. Äëÿ òîãî ÷òîáû îáà ïðîèçâåäåíèÿ AB è BA íå òîëüêî áûëè îïðåäåëåíû, íî è èìåëè îäèíàêîâûé ïîðÿäîê, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îáå ìàòðèöû A è B áûëè êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè îäíîãî è òîãî æå ïîðÿäêà.

Ôîðìóëà (1.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëî ñîñòàâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C,

ÿâëÿþùåéñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B. Ýòî ïðàâèëî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è ñëîâåñíî : Ýëåìåíò Cij, ñòîÿùèé íà ïåðåñå÷åíèè i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû C = AB, ðàâåí ñóììå ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ i-é ñòðîêè ìàòðèöû A è j-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû B.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ óêàçàííîãî ïðàâèëà ïðèâåäåì ôîðìóëó ïåðåìíîæåíèÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà



=

Èç ôîðìóëû (1.4) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B :

  1. ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî : (AB) C = A (BC);
  2. ðàñïðåäåëèòåëüíîå îòíîñèòåëüíî ñóììû ìàòðèö ñâîéñòâî :

(A + B) C = AC + BC èëè A (B + C) = AB + AC.

Âîïðîñ î ïåðåñòàíîâî÷íîì ñâîéñòâå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö èìååò ñìûñë ñòàâèòü ëèøü äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà. Ýëåìåíòàðíûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðîèçâåäåíèé äâóõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà íå îáëàäàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåñòàíîâî÷íûì ñâîéñòâîì.  ñàìîì äåëå, åñëè ïîëîæèòü

A =
, B =
, òî AB =
, à BA =

Òå æå ìàòðèöû, äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ïåðåñòàíàâî÷íîå ñâîéñòâî, ïðèíÿòî íàçûâàòü êîììóòèðóþùèìè.

Ñðåäè êâàäðàòíûõ ìàòðèö âûäåëèì êëàññ òàê íàçûâàåìûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö, ó êàæäîé èç êîòîðûõ ýëåìåíòû, ðàñïîëîæåííûå âíå ãëàâíîé äèàãîíàëè, ðàâíû íóëþ. Ñðåäè âñåõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö ñ ñîâïàäàþùèìè ýëåìåíòàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè îñîáî âàæíóþ ðîëü èãðàþò äâå ìàòðèöû. Ïåðâàÿ èç ýòèõ ìàòðèö ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà âñå ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàâíû åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé n-îãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì E . Âòîðàÿ ìàòðèöà ïîëó÷àåòñÿ ïðè âñåõ ýëåìåíòàõ ðàâíûõ íóëþ è íàçûâàåòñÿ íóëåâîé ìàòðèöåé n-îãî ïîðÿäêà è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì O. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà A, òîãäà

AE = EA = A, AO = OA = O.

Ïåðâàÿ èç ôîðìóë õàðàêòåðèçóåò îñîáóþ ðîëü åäèíè÷íîé ìàòðèöû Å, àíàëîãè÷íóþ òî ðîëè, êîòîðóþ èãðàåò ÷èñëî 1 ïðè ïåðåìíîæåíèè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. ×òî æå êàñàåòñÿ îñîáîé ðîëè íóëåâîé ìàòðèöû Î, òî åå âûÿâëÿåò íå òîëüêî âòîðàÿ èç ôîðìóë, íî è ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåìîå ðàâåíñòâî : A + O = O + A = A. Ïîíÿòèå íóëåâîé ìàòðèöû ìîæíî ââîäèòü è íå äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö.

2. Îïðåäåëèòåëè.

2.1 Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ.

Ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî çàïîìíèòü, ÷òî îïðåäåëèòåëè ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ ìàòðèö êâàäðàòíîãî âèäà, èáî äëÿ ìàòðèö äðóãîãî òèïà íå ñóùåñòâóåò îïðåäåëèòåëåé. Â òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è â íåêîòîðûõ äðóãèõ âîïðîñàõ óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ, èëè äåòåðìèíàíòà.

2.2 Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé.

Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ÷åòâåðêó ÷èñåë, çàïèñàííûõ â âèäå ìàòðèöû
ïî äâà â ñòðîêàõ è ïî äâà ñòîëáöàõ, Îïðåäåëèòåëåì èëè äåòåðìèíàíòîì, ñîñòàâëåííûì èç ÷èñåë ýòîé òàáëèöû, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ad—bc, îáîçíà÷àåìîå òàê:
.Òàêîé îïðåäåëèòåëü íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîñêîëüêó äëÿ åãî ñîñòàâëåíèÿ âçÿòà òàáëèöà èç äâóõ ñòðîê è äâóõ ñòîëáöîâ. ×èñëà, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåí îïðåäåëèòåëü, íàçûâàþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè; ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòû a è d ñîñòàâëÿþò ãëàâíóþ äèàãîíàëü îïðåäåëèòåëÿ, à ýëåìåíòû b è c åãî ïîáî÷íóþ äèàãîíàëü. Âèäíî, ÷òî îïðåäåëèòåëü ðàâåí ðàçíîñòè ïðîèçâåäåíèé ïàð ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà åãî ãëàâíîé è ïîáî÷íîé äèàãîíàëÿõ . Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî è ëþáîãî äðóãîãî ïîðÿäêà íàõîäèòñÿ ïðèìåðíî òàêæå, à èìåííî: Äîïóñòèì, ÷òî ó íàñ åñòü êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà
. Îïðåäåëèòåëåì ñëåäóþùåé ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ òàêîå âûðàæåíèå : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Êàê âû âèäèòå îí ïðîñ÷èòûâàåòñÿ äîâîëüíî ëåãêî, åñëè çàïîìíèòü îïðåäåëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì èäóò ãëàâíàÿ äèàãîíàëü è îáðàçóþùèåñÿ èç ýëåìåíòîâ òðåóãîëüíèêè, èìåþùèå ïàðàëëåëüíóþ ãëàâíîé äèàãîíàëè ñòîðîíó, â äàííîì ñëó÷àå ýòî òðåóãîëüíèêè a12a23a31, a13a21a32.

Ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì èäóò ïîáî÷íàÿ äèàãîíàëü è òðåóãîëüíèêè åé ïàðàëëåëüíûå, ò.å. a11a23a32 , a12a21a33. Òàêèì îáðàçîì íàõîäÿòñÿ îïðåäåëèòåëè ëþáîãî ïîðÿäêà. Íî áûâàþò ñëó÷àè, êîãäà è ýòîò ìåòîä ñòàíîâèòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûì, íàïðèìåð, êîãäà ýëåìåíòîâ â ìàòðèöå î÷åíü ìíîãî, è äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîñ÷èòàòü îïðåäåëèòåëü íóæíî çàòðàòèòü óéìó âðåìåíè è âíèìàíèÿ.

Ñóùåñòâóåò áîëåå ëåãêèé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ n-îãî ïîðÿäêà, ãäå n
2. Äîãîâîðèìñÿ íàçûâàòü ìèíîðîì ëþáîãî ýëåìåíòà Aij ìàòðèöû n-îãî ïîðÿäêà îïðåäåëèòåëü, ñîîòâåòñòâóþùèé òîé ìàòðèöå, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû â ðåçóëüòàòå âû÷åðêèâàíèÿ i-é ñòðîêè è j-îãî ñòîëáöà ( òîé ñòðîêè è òîãî ñòîëáöà, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýëåìåíò Aij ). Ìèíîð ýëåìåíòà Aij áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì
.  ýòîì îáîçíà÷åíèè âåðõíèé èíäåêñ îáîçíà÷àåò íîìåð ñòðîêè, íèæíèé – íîìåð ñòîëáöà, ô ÷åðòà íàä M îçíà÷àåò, ÷òî óêàçàííûå ñòðîêà è ñòîëáåö âû÷åðêèâàþòñÿ. Îïðåäåëèòåëåì ïîðÿäêà n, ñîîòâåòñòâóþùèì ìàòðèöå, íàçîâåì ÷èñëî, ðàâíîå
è îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì
.

Òåîðåìà 1.1 Êàêîâ áû íè áûë íîìåð ñòðîêè i ( i =1, 2 …, n ), äëÿ îïðåäåëèòåëÿ n-îãî ïîðÿäêà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà


= det A =

íàçûâàåìàÿ ðàçëîæåíèåì ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ ïî i-é ñòðîêå. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ýòîé ôîðìóëå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ âîçâîäèòñÿ ÷èñëî (-1), ðàâåí ñóììå íîìåðîâ ñòðîêè è ñòîëáöà, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýëåìåíò Aij.

Òåîðåìà 1.2 Êàêîâ áû íè áûë íîìåð ñòîëáöà j ( j =1, 2 …, n ), äëÿ îïðåäåëèòåëÿ n-ãî ïîðÿäêà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà


= det A =

íàçûâàåìàÿ ðàçëîæåíèåì ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ ïî j-îìó ñòîëáöó.

2.3 Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé.

Ó îïðåäåëèòåëåé òàêæå åñòü ñâîéñòâà, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ çàäà÷à èõ âû÷èñëåíèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëåå ëåãêîé. Èòàê, íèæå óñòàíàâëèâàåòñÿ ðÿä ñâîéñòâ, êîòîðûìè îáëàäàåò ïðîèçâîëüíûé îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà.

1
. Ñâîéñòâî ðàâíîïðàâíîñòè ñòðîê è ñòîëáöîâ. Òðàíñïîíèðîâàíèåì ëþáîé ìàòðèöû èëè îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ îïåðàöèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè ñòðîêè è ñòîëáöû ñ ñîõðàíåíèåì ïîðÿäêà èõ ñëåäîâàíèÿ.  ðåçóëüòàòå òðàíñïîíèðîâàíèÿ ìàòðèöû A ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, íàçûâàåìàÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå A è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì A
.

Ïåðâîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê : ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ ñîõðàíÿåòñÿ, ò. å.
=
.

2
. Ñâîéñòâî àíòèñèììåòðèè ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñòðîê ( èëè äâóõ ñòîëáöîâ ). Ïðè ïåðåñòàíîâêå ìåñòàìè äâóõ ñòðîê ( èëè äâóõ ñòîëáöîâ ) îïðåäåëèòåëü ñîõðàíÿåò ñâîþ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó, íî ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Äëÿ îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ñâîéñòâî ïðîâåðÿåòñÿ ýëåìåíòàðíî ( èç ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî îïðåäåëèòåëè îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì ).

3
. Ëèíåéíîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåêîòîðàÿ ñòðîêà (a) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé äâóõ äðóãèõ ñòðîê ( b è c ) ñ êîýôôèöèåíòàìè
è
. Ëèíåéíîå ñâîéñòâî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê : åñëè â îïðåäåëèòåëå n-ãî ïîðÿäêà
íåêîòîðàÿ i-ÿ ñòðîêà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé äâóõ ñòðîê ñ êîýôôèöèåíòàìè
è
, òî
=


+

, ãäå


– îïðåäåëèòåëü, ó êîòîðîãî i-ÿ ñòðîêà ðàâíà îäíîé èç äâóõ ñòðîê ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, à âñå îñòàëüíûå ñòðîêè òå æå, ÷òî è ó
,
à
– îïðåäåëèòåëü, ó êîòîðîãî i-ÿ ñòðîêà ðàâíà âòîðîé èç äâóõ ñòðîê, à âñå îñòàëüíûå ñòðîêè òå æå, ÷òî è ó
.

Ýòè òðè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè îïðåäåëèòåëÿ, âñêðûâàþùèìè åãî ïðèðîäó. Ñëåäóþùèå ïÿòü ñâîéñòâ ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìè ñëåäñòâèÿìè òðåõ îñíîâíûõ ñâîéñòâ.

Ñëåäñòâèå 1. Îïðåäåëèòåëü ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè ( èëè ñòîëáöàìè ) ðàâåí íóëþ.

Ñëåäñòâèå 2. Óìíîæåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñòðîêè ( èëè íåêîòîðîãî ñòîëáöà ) îïðåäåëèòåëÿ íà ÷èñëî a ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ îïðåäåëèòåëÿ íà ýòî ÷èñëî a. Èíûìè ñëîâàìè , îáùèé ìíîæèòåëü âñåõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñòðîêè ( èëè íåêîòîðîãî ñòîëáöà ) îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ.

Ñëåäñòâèå 3. Åñëè âñå ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñòðîêè ( èëè íåêîòîðîãî ñòîëáöà ) ðàâíû íóëþ, òî è ñàì îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.

Ñëåäñòâèå 4. Åñëè ýëåìåíòû äâóõ ñòðîê ( èëè äâóõ ñòîëáöîâ ) îïðåäåëèòåëÿ ïðîïîðöèîíàëüíû, òî îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.

Ñëåäñòâèå 5. Åñëè ê ýëåìåíòàì íåêîòîðîé ñòðîêè ( èëè íåêîòîðîãî ñòîëáöà ) îïðåäåëèòåëÿ ïðèáàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû äðóãîé ñòðîêè ( äðóãîãî ñòîëáöà ), óìíîæåíèå íà ïðîèçâîëüíûé ìíîæèòåëü
, òî âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ íå èçìåíÿåòñÿ. Ñëåäñòâèå 5, êàê è ëèíåéíîå ñâîéñòâî, äîïóñêàåò áîëåå îáùóþ ôîðìóëèðîâêó, êîòîðóþ ÿ ïðèâåäó äëÿ ñòðîê : åñëè ê ýëåìåíòàì íåêîòîðîé ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ ïðèáàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ñòðîêè, ÿâëÿþùåéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íåñêîëüêèõ äðóãèõ ñòðîê ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ ( ñ êàêèìè óãîäíî êîýôôèöèåíòàìè ), òî âåëè÷åíà îïðåäåëèòåëÿ íå èçìåíèòñÿ. Ñëåäñòâèå 5 øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè êîíêðåòíîì âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëåé.

3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

3.3 Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Êðàìåðà.

Èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçóÿ ìàòðèöû ìû ìîæåì ðåøàòü ðàçëè÷íûå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïðè ÷åì ýòè ñèñòåìû ìîãóò áûòü êàêîé óãîäíî âåëè÷åíû è èìåòü ñêîëüêî óãîäíî ïåðåìåííûõ. Ñ ïîìîùüþ íåñêîëüêèõ âûâîäîâ è ôîðìóë ðåøåíèå îãðîìíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé ñòàíîâèòñÿ äîâîëüíî áûñòðûì è áîëåå ëåãêèì.

 ÷àñòíîñòè, ÿ îïèøó ìåòîäû Êðàìåðà è Ãàóññà. Íàèëåã÷àéøèì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Êðàìåðà ( äëÿ ìåíÿ ), èëè êàê åãî åùå íàçûâàþò – ôîðìóëà Êðàìåðà. Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî ìû èìååì êàêóþ-ëèáî ñèñòåìó óðàâíåíèé


, â âèäå ìàòðèöû ýòó ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü òàêèì îáðàçîì : A =
, ãäå îòâåòû áóäóò óðàâíåíèé áóäóò íàõîäèòñÿ â ïîñëåäíåì ñòîëáöå. Òåïåðü ìû ââåäåì ïîíÿòèå îñíîâíîãî îïðåäåëèòåëÿ; â äàííîì ñëó÷àå îí áóäåò âûãëÿäåòü òàêèì îáðàçîì :
=
. Îñíîâíûì îïðåäåëèòåëåì êàê âû óæå çàìåòèëè ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ñòîÿùèõ ïðè ïåðåìåííûõ. Îíè òàêæå èäóò â ïîðÿäêå ñòîëáöîâ, ò. å. â ïåðâîì ñòîëáöå ñòîÿò êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïðè x, âî âòîðîì ñòîëáöå ïðè y, è òàê äàëåå. Ýòî î÷åíü âàæíî, èáî â ñëåäóþùèõ äåéñòâèÿõ ìû áóäåì çàìåíÿòü êàæäûé ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïåðåìåííîé íà ñòîëáåö îòâåòîâ óðàâíåíèé. Èòàê, êàê ÿ óæå ãîâîðèë, ìû çàìåíÿåì ñòîëáåö ïðè ïåðâîé ïåðåìåííîé íà ñòîëáåö îòâåòîâ, çàòåì ïðè âòîðîé, êîíå÷íî ýòî âñå çàâèñèò îò òîãî, ñêîëüêî ïåðåìåííûõ íàì íóæíî íàéòè.


1 =
,
2 =
,
3 =
.

Çàòåì íóæíî íàéòè îïðåäåëèòåëè
1 ,
2 ,
3 . Êàê íàõîäèòñÿ îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà âû óæå çíàåòå. À âîò çäåñü ìû è ïðèìåíÿåì ïðàâèëî Êðàìåðà. Îíî âûãëÿäèò òàê :

x1 =
, x2 =
, x3 =
äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ, à â îáùåì âèäå îíî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì : xi =
. Îïðåäåëèòåëü ñîñòàâëåííûé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ, íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

  1. Â. À. Èëüèí, Ý. Ã. Ïîçíÿê “Ëèíåéíàÿ Àëãåáðà”
  2. Ã. Ä. Êèì, Å. Â. Øèêèí “Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â ëèíåéíîé àëãåáðå”

Íåïðàâèëüíàÿ êîäèðîâêà â òåêñòå?
 ðàáîòå íå äîñòàåò êàêèõ ëèáî êàðòèíîê?
Äîêóìåíò îòôîðìàòèðîâàí íåêîððåêòíî?

Âû ìîæåòå ñêà÷àòü ïðàâèëüíî îòôîðìàòèðîâàííóþ ðàáîòó
Ñêà÷àòü ðåôåðàò