Высшая математика

Высшая математика

Содержание

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

Задание №3. Вопрос №1.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №13. Вопрос №2.

Задание №18. Вопрос №9

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №14. Вопрос №2.

Задание №15. Вопрос №6.

Задание №18. Вопрос №9.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

	машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
60-15=45	машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
54-45=9	водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
	количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
	дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь
свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P) и найдите координаты точки равновесия, если
,
.

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

С осью OP (Q=0):		С осью OQ (P=0):
Для Q=QS(P):	Для Q=QD(P):

Т.к. функции Q_S(P) и Q_D(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

, из этой системы получаем:

, тогда
, значит координаты т.M
.

Ответ:Координаты точки равновесия равны
,

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

 

Решение:

Ответ:Производная заданной функции равна

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

числа:

Решение:

Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график:

Решение:

1. Область определения данной функции:
   .
2. Найдем точки пересечения с осями координат:

   С осью OY :	С осью OX (y=0):
   	, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
   Точка пересечения:	Точки пересечения: ,

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение:
   , где:

   
   
   т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:
   , т.е.
   - уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

   
   

   Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.
   :

   
   , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
   , отсюда x=0, следовательно
   , значит точка
   - точка экстремума функции.

   На участке
   производная
   > 0, значит, при
   , заданная функция возрастает.

   На участке
   производная
   < 0, значит, при
   , заданная функция убывает (рис 2.).

   
   

   Следовательно
   - точка максимума заданной функции
   .

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е.
:

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
, значит
, тогда
, отсюда

Отсюда
,
.

На участке
производная
>0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке
производная
>0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при
график заданной функции является вогнутым.

На участке
производная
<0, значит, при
график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки
,
- точки перегиба графика заданной функции
.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах
и
. Задана функция полных издержек
. Цены этих товаров на рынке равны
и
. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

,
,

Решение:

Пусть
- функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции f(x,y):

,
. Найдем стационарные точки графика функции
. Для этого решим систему:

Следовательно
- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения:
,
,
,

тогда
,
,
,
. Т.к. A>0, то экстремум есть, а т.к.
< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска
и
, достигается максимальная прибыль равная:

Ответ:
и достигается при объемах выпуска
и
.

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Ответ:

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
.

Решение:

Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнение

Решение:

. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение
. Представим
, как
, тогда

Ответ:Решением данного уравнения является
.

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения:
, тогда
, следовательно
,
, тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

,

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений
и
, возьмем
,
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Представим правую часть уравнения, как
и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

. Имеем
,
, тогда т.к.
- многочлен второй степени, то общий вид правой части:
. Найдем частные решения:

,
,

Сравним коэффициенты при
слева и справа, найдем
, решив систему:

, отсюда
.

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
.

Ответ:
.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел:
.

Решение:

.

Ответ:Заданный предел равен
.

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

.

Решение:

1. Область определения данной функции:
   .
2. Т.к. точка
   не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.
   и
   , следовательно, уравнение
   – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:
   

, где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид:
.

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты
с осями

координат:

С осью OX: точка
,

с осью OY: точка

Ответ:
и
– уравнения асимптот заданной функции.

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите:
.

Решение:

Т.к. по определению производная функции
в точке
вычисляется по формуле
, тогда приращение
в точке
:
.

Следовательно
.

Ответ:
.

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
.

Решение:

.

Ответ:Заданный предел равен
.

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке
уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением:
.

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции
в точке
имеет вид:
. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности:
. Подставив в полученное уравнение координаты точки
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

.

Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке
имеет вид
.

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в области:
.

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

, точка
не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями
и
. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

1. 
   , тогда
   ,
   , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

   
   

   Эта система имеет четыре решения:

   , ,	Точка – точка условного максимума, при этом функция .
   , ,	Точка – точка условного максимума, при этом функция .
   , ,	Точка – точка условного минимума, при этом функция .
   , ,	Точка – точка условного минимума, при этом функция .

2. 
   , тогда
   ,
   ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система также имеет четыре решения:

, ,	Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, ,	Точка – точка условного минимума, при этом функция .
, ,	В точке – точка условного минимума, при этом функция .

Следовательно, заданная функция
в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках
и
и наименьшего в точках
и
при этом графики функций
и
касаются окружности
в точках
,B, и
,
соответственно (см. рис.6).

Ответ:Заданная функция
при условии
имеет
и
.

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл:
.

Решение:

Ответ:

Заданный неопределенный интеграл равен
.

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение:
.

Решение:

. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение:

.

Ответ:

Решением данного уравнения является
.