Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

I.Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P₁(x₁,y₁); P₂(x₂,y₂); ... , P_n(x_n,y_n)

c массами m₁,m₂,m₃, . . . , m_n.

Произведения x_im_i и y_im_i называются статическими моментами массы m_i относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через x_c и y_c координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

1.Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f₁(x), y=f₂(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x₁, . . . , x=x_n=b на полоски ширины D x_{1, D} x₂, . . ., D x_n. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d . Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием D x_i и высотой f₂(x )-f₁(x ), где x
, то масса полоски будет приближенно равна

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при
, получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

2. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P₁, P₂, . . ., P_n c массами m₁, m₂, . . ., m_n определяются по формулам

В пределе при
интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g .

Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл
выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

3.Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X²+Y²=a², расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести:

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y²=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае
поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
.

Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. X_c= 0. Остается найти
. Имеем
тогда

Следовательно,

5)Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

Согласно второй теореме Гульдена,

Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

III.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть 2, “Высшая школа”, Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С. “Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов”, том 2, “Наука”, Москва, 1965