Векторная алгебра

   ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА  - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций  относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

   Суммой a+b векторов a  и b  называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

   a+b=b+a                (коммутативность)

       (а+b)*с=а*(b+с)   (ассоциативность)

       a + 0=a                   (наличие нулевого элемента )

       a+(-a)=0                 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют  вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

 

 l*(a+b)= l*a+l*b   (дистрибутивность относительно сложения векторов)          

(l+u)*a=l*a+u*a     (дистрибутивность относительно сложения чисел)

 l*(u*a)=(l*u)*a      (ассоциативность)

 1*a=a                        (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной  алгебре  важное  значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются  линейно   зависимыми   векторами, если существуют числа  a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

aa+bb+…gc=0.      (1)

  Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g  равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e₁,e₂,e₃ трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

 

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.

Числа  a₁,a₂,a₃ называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a₁,a₂,a₃}.

Два вектора a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности  векторов  a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a₁=lb₁,a₂=lb₂,a₃=lb_3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a₁,a₂,a₃} , b={b₁,b₂,b₃}  и c={c₁,c₂,c₃}  является равенство :

                         

|  a₁ a₂ a₃ |

      |  b₁ b₂ b₃| = 0

|  c₁ c₂ c₃  |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}    равны суммам соответствующих координат:  a+b={a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l :

                                         lа= {lа₁,la₂, la₃}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

                              

                                               (а, b) = | а |*| b | cosj.

За  j  принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

     (a, b)= (b, а) (коммутативность),

     (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

      l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число),

     (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных       взаимно         перпендикулярных        векторов        (ортов)          i, j, k  ( ортонормированный  базис). Скалярное произведение векторов :

                                              a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}  

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: 

                                                (a,b)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}  

может быть вычислен по формуле:

             

                                             

 где
 и

Косинусы углов вектора a={a₁,a₂,a₃}  с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

    
 , 
 ,  
.

Направляющие косинусы обладают следующим  свойством:

                                        cos²a+cos²b+cos²g=1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. _е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

                            Пр. _е (a+b)= Пр. _е a+ Пр. _е b  (аддитивность),

                            Пр. _е a = Пр. _е la                     (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис).   Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

                             b                                       b

                                  c             c                                        

                         a                                           a

  

          правило левой руки              правило правой руки

             

   Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:

                                              aVb=| a || b |*sinj

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

    aVb=-bVa (антикоммутативность),

    aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

    l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),

    aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a₁,a₂} {b₁,b₂}, то :

                                        

                                                   aVb=a₁b₁-a₂b_2.